Największa liczba na świecie

Najlepszym artykułem roku akademickiego 2007/8, który otrzymał Nagrodę Dziekanów, jest zamieszczonym w miesięczniku Delta tekst „Największa liczba na świecie". Autorem artykułu jest  Tomasz Bartnicki z Uniwersytetu Zielonogórskiego. Jego praca ukazała się w trzecim numerze tegorocznej „Delty".

T. Bartnicki opisuje w niej największą z odkrytych dotychczas liczb naturalnych, której nie da się zapisać w układzie dziesiętnym. Jako największa, w 1997 roku została wpisana do Księgi Rekordów Guinessa.
 
Aby zrozumieć, czym jest największa liczba, autor proponuje wyobrażenie sobie sześcioosobowej grupy, w której część osób się zna, część jest zaś sobie zupełnie obca. Udowodnione jest twierdzenie, że wśród dowolnej grupy sześciu osób zawsze znajdą się trzy znające się i trzy sobie obce. Jak duża jednak musi być grupa, by pojawiła się w niej czwórka osób znających się i nie? To samo pytanie dotyczy kolejnych osób: piątki, szóstki czy siódemki.

Takie odwrócenie powyższego twierdzenia zostało udowodnione w 1930 roku przez  Franka Ramsey'a. Najmniejsza liczba, która w każdej z rozpatrywanych sytuacji spełnia ów warunek, została nazwana jego nazwiskiem. Rozpoczęły się poszukiwania wzoru, według którego można by obliczyć liczbę Ramsey'a.

Pomocne mogłoby tu być narysowanie specjalnego grafu, którego wierzchołki oznaczałyby kolejne osoby, a krawędzie między osobami znającymi się i nie kolorowane byłby odpowiednio na zielono i czarno. O ile jednak graf można jeszcze stworzyć dla czterech osób, problem pojawia się przy piątej. W jej przypadku należy narysować graf o 903 krawędziach, a żeby zbadać wszystkie możliwe rodzaje pokolorowania trzeba rozpatrzyć liczbę przypadków wyrażających się liczbą 10 do potęgi 271. Niestety, przetworzenie takiej liczby przekracza możliwości funkcjonujących obecnie komputerów.

Naukowcy poszli jednak dalej, próbując rozważać przypadki grafów przestrzennych. W roku 1971 Ronald Graham i Bruce Rotschild uogólnili twierdzenie Ramsey'a. Udowodnili, że istnieje taka naturalna liczba n, że w dowolnym dwukolorowym kolorowaniu grafu pełnego powiązanego z n-wymiarową kostką jednostkową zawsze pojawią się cztery wierzchołki, połączone krawędziami w jednakowym kolorze.

Rzeczona liczba n powstaje przez kolejne potęgowanie liczby 3. Potęgować należy zawsze to, co uzyskało się z potęgowania wcześniejszego. W ten sposób uzyskiwane są złożone działania- gdy podnosimy 3 do potęgi 27 uzyskujemy liczbę siedmiu bilionów. Aby zapisać jej końcową postać, należy wykonać aż 62 kroki. Liczba ta zwana jest liczbą Grahama. Jest ona na tyle ogromna, że nie sposób zapisać ją w układzie dziesiętnym. Co ciekawe, nie istnieje również we Wszechświecie żadne zjawisko, do którego opisu liczba ta byłaby potrzebna.

amn/pap.pl